FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA
PROBABILIDAD
El
Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se
denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del
resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay
más de uno posible.
La
probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la estadística y la toma
de decisiones bajo incertidumbre.
Este
es el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir probabilidades relacionadas
con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir significa asignar a cada probabilidad
un número determinado, esto nos permitiría obtener un conocimiento más preciso
del fenómeno.
EXPERIMENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
Un fenómeno es considerado como sinónimo de
experimento y se define como toda aquella acción que se realiza con el fin de
observar el resultado.
Por su
naturaleza se pueden clasificar de varias formas:
Por la capacidad de predecir el resultado:
Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Determinísticos.
Todos los hechos o sucesos que ocurren se denominan
fenómenos.
Fenómeno Determinista.- Es el fenómeno cuyo resultado se predice con certeza, porque obedece a
una relación causa-efecto y al variar poco las causas varía poco el efecto.
Ejemplo:
- Después de las
6:00 son las 7:00.
- Después del día
sigue la noche.
- Ir a la escuela
todos los días.
- Alimentarse al
mediodía.
En la vida solo hay dos cosas seguras:
la muerte y pagar impuestos" Benjamin Franklin
Fenómeno Aleatorio.- Es un fenómeno que tiene varios resultados y estos no se pueden predecir
con certeza, pues obedecen las leyes del azar.
Ejemplo:
·
El resultado probable de una rifa
- Al lanzar una moneda o un dado al aire, se
ignora el resultado.
- El tiempo que tardará un árbol en alcanzar 3m
de altura etc.
Un Experimento
aleatorio es una acción que se considera con propósito de
análisis y que tiene como fin determinar la probabilidad de uno o de varios
resultados. En la práctica, un experimento es el proceso por medio del cual una
observación o medición es registrada.
Un experimento aleatorio se caracteriza por:
a)
El experimento se puede repetir indefinidamente
bajo las mismas condiciones
b)
Cualquier mínima modificación en las condiciones
iniciales pueden modificar el resultado final
c) Se puede determinar el conjunto de los posibles
resultados del experimento, pero no se puede predecir previamente un resultado
Por la capacidad de enumerar los resultados:
CONTINUOS:
Se considera a un fenómeno como continuo cuando el número posible de
observaciones o resultados No es un conjunto medible, es decir los resultados
pueden tomar cualquier valor.
DISCRETOS:
Se considera un fenómeno como discreto cuando el número posible de
observaciones o resultados es un conjunto, el cual se puede determinar con
certeza su tamaño, es decir los resultados toman valores establecidos.
ESPACIO MUESTRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO
Espacio Muestral es el
conjunto de todos los posibles resultados en un experimento aleatorio.
Generalmente se denota con Ω (o con S). A cada uno de estos resultados, también se les llama puntos
muestrales.
Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el
espacio muestral (S) es S={1,2,3,4,5,6}.
También Ω=(1,2,3,4,5,6)
EVENTOS
En general un Evento es un fenómeno aleatorio es
decir aquel cuyo resultado depende del azar.
Cualquier subconjunto del Espacio Muestral es
denominado Evento aleatorio,
y se denota normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...
EVENTOS
DISCRETOS Y CONTINUOS
Evento discreto:
Es aquel cuyo resultado solo puede tomar determinados valores.
Evento continuo:
Es aquel cuto resultado que puede tomar cualquier valor.
EVENTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS
Eventos mutuamente excluyentes,
Si se tienen dos eventos A y B, los eventos mutuamente excluyentes son aquellos
en donde la ocurrencia de uno implica que el otro no puede ocurrir.
Nota:
No ocurren juntos
Ejemplo:
De
los suscritores a internet
A:
Un grupo son menores de 15 años
B:
Un grupo tiene mas de 15 pero no mas de 21 años
C:
Un grupo son mayores de 21 años
Si
se elige a un solo suscritor, este va a pertenecer a uno de los tres grupos,
pero no puede pertenecer a dos grupos simultáneamente.
Eventos Colectivamente
Exhaustivos. Son aquellos cuya unión conforma
totalmente el espacio muestral.
Ocurre
A, Ocurre B o ambas, ocurre al menos uno de ellos.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD A TRAVÉS DE
DIFERENTES ESCUELAS
La
probabilidad basa sus fundamentos matemáticos en tres interpretaciones: la
clásica, la frecuentista y la subjetiva. Las tres interpretaciones parten de un
grupo de axiomas de los cuales se desprende una serie de análisis y
herramientas que permiten establecer patrones de comportamiento de determinados
experimentos.
Enfoque
Clásico o de Laplace
Este
enfoque señala que cuando no hay fundamento para preferir uno de los resultados
o sucesos a cualquier otro, todos deben considerarse que tienen la misma
probabilidad de ocurrir.
Se
basa en que los resultados de un experimento son igualmente viables, porque tienen
teóricamente las mismas posibilidades de ocurrir.
En este caso la probabilidad de ocurrencia de un evento será:
Número de resultados en los que se
presenta el evento / número total de
resultados posibles
La
letra P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo P(A) la
probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.
Enfoque Frecuencial
o empírico
La probabilidad es el
grado de certidumbre con que se mide la ocurrencia de cierto resultado.
La probabilidad
frecuencial o empírica es la que se
fundamenta en los datos obtenidos por encuestas, preguntas o por una serie
larga de realizaciones de un
experimento.
El cálculo de la
probabilidad de un evento y la frecuencia relativa del mismo es lo que se
conoce como probabilidad
frecuencial.
Para determinar
la probabilidad frecuencial, se repite el experimento aleatorio un
número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número
de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces
que se realizó el experimento.
P(A)=frecuencia en la
que aparece un evento/total de veces que se realiza en evento= fA/n
Enfoque
Subjetivo
Este enfoque permite interpretar a las
probabilidades como ponderaciones atribuidas conforme la confianza personal o
subjetiva en el resultado de un experimento. Este enfoque se aplica a
experimentos que todavía no ocurren o que lo hacen una sola vez y no requiere un
experimento con gran cantidad de ensayos ni la hipótesis de regularidad
estadística.
Comentarios
Publicar un comentario