MODELOS PROBABILÍSTICOS COMUNES
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS
ENSAYO DE BERNOULLI
Consiste en realizar un sólo experimento (ensayo) en el cual
existen únicamente dos posibles resultados:
S={Éxitos, Fracasos}
Por ejemplo: observar un artículo y ver si es defectuoso
Definimos a la variable aleatoria de Bernoulli de la
siguiente forma:
I=
O , si el resultado del ensayo es “fracaso”, o
I=1 Si el resultado del ensayo es “éxito”.
A
ésta última se le conoce como “función indicadora”
DISTRIBUCIÓN
DE BERNULLI
Supongamos
que en un ensayo de Bernoulli la probabilidad de obtener éxito es p.
Como el ensayo tiene únicamente dos resultados posibles, entonces la
probabilidad de obtener un fracaso es 1-p. llamaremos q a la probabilidad de
fracaso.
p =
Probabilidad de éxito
q
= (1-p) = Probabilidad de fracaso
Con
esto, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli es:
P(I)={q; si I=0, p; si
I=1 y 0; otro valor}
La
media o valor esperado de la variable aleatoria de Bernoulli es:
E(I)=0q+1p=p
La
varianza de la variable aleatoria de Bernoulli es:
V(I)=E(I2)-E(I)2
Si
llamamos X, en lugar de I,a la Variable aleatoria de Bernoulli, su distribución
de probabilidad queda:
P(X)={q; si X=0, p; si
X=1 y 0; otro valor}
La
cual también se puede abreviar de la forma: P(X)= {pxq1-x,
cunado X=0,1}
Esta es la forma más usual de
representar la distribución de Bernoulli
ENSAYO BINOMIAL
Consiste en realizar nveces
el ensayo de bernoulli, de manera independiente uno de otro y suponiendo que la
probabilidad de éxito ppermanence constante en cada uno de ellos.
Por
ejemplo: observar cinco artículos de un mismo lote y contar el número de
artículos con defecto.
Definimos a la variable aleatoria de Binomial
de la siguiente forma:
X=I1+I2+…In=∑Ij
Donde las Ij son variables aleatorias de
Bernoulli independientes, cada una con media p y varianza pq
Así definida, X representa entonces el
número de éxitos obtenidos al realizar n veces el ensayo de Bernoulli.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Al realizar el ensayo
binomial, la variable aleatoria puede adquirir los valores: X={0,1,2,...,n}
Supongamos que se realizan n ensayos
de Bernoulli y la probabilidad de éxito es p, la distribución de X para n =2, 3
ó 4 es:
Se observa que el término
genérico es pxqn-x repetido un determinado número de
veces¿cuántas?
Supongamos que se obtienen
consecutivamente primero los X éxitos y luego los n-x fracasos:
Para
encontrar el número de formas en que se pueden obtener X éxitos y n-x fracasos,
recordemos la expresión para el cálculo de permutaciones con grupos de objetos
iguales:
Es decir
que el número de formas en que se pueden ordenar los éxitos y los fracasos es
C(n,x).
Finalmente,
tenemos que el término pxqn-x se repite un numero de
veces igual a C(n,x) :
En forma
resumida, la distribución de la variable aleatoria binomial es:
Puesto que la forma de P(x) depende de p y de
n, éstos son los pámetros de la distribución binomial:
P(x; n,p)
Distribución Geométrica
Definamos una variable
aleatoria X como el número de ensayos de Bernoulli, independientes, necesarios
para obtener el primer éxito. donde la probabilidad de éxito es p.
Implica
que realizamos repetidamente el ensayo y nos detenemos al obtener el primer
éxito. Cada ensayo es realizado de manera independiente uno de otro y
suponiendo que la probabilidad de éxito p permanece constante en cada uno de
ellos.
Distribución
de Pascal( Binomial Negativa)
Definamos
una variable aleatoria X como el número de ensayos de Bernoulli necesarios para
obtener exactamente K éxitos
Distribución
de Poisson
Definamos
una variable aleatoria X como el número de eventos independientes que ocurren a
una rapidez constante.
Donde λ es el número promedio
de ocurrencias del evento por unidad de tiempo o espacio. A esta unidad de
tiempo o espacio le podemos llamar intervalo.
La media
y varianza de la variable aletoria de Poisson son:
El único
parámetro de La distribución de Poisson es λ.
La
distribución de Poisson es sesgada a la derecha y leptocúrtica, pero tiende a
ser insesgada y mesocúrtica cuando aumenta λ
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