MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Los parámetros más útiles son las medidas
de Tendencia Central, las cuales ubican el valor alrededor del cual se concentra
un conjunto de datos y las Medidas de Dispersión que describen la variabilidad
o dispersión de los mismos.
Las tres medidas de tendencia central o
de centralización más importantes son la moda, la mediana y la media.
Moda
Como pudiste observar en la bibliografía, la moda se define como
el dato con la frecuencia más alta, es decir, el que más se repite. No siempre
existe una moda y en ocasiones puede haber más de una. Además, es la única
medida de tendencia central que se puede calcular para variables nominales.
Ejemplos:
En el conjunto de datos: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 12, 13 la moda es 4.
En la distribución 2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 12, 12, 13, 13 no hay moda.
Para el conjunto de datos ordinales: pequeña, pequeña, mediana, mediana, mediana, grande, grande,
grande, extragrande, extragrande, hay dos modas: “mediana” y “grande”, porque ambos se repiten el mismo
número de veces.
Mediana
La mediana se define como el dato central de
la distribución, es decir el dato que queda justo en el medio, cuando el conjunto de
datos se encuentra ordenado. Se denota por
.
La mediana se puede
utilizar con variables ordinales (además de la moda). Si el número de datos es
impar, entonces la mediana corresponde al valor que se encuentra en el medio. Pero
si el número de observaciones es par, entonces se toman los dos valores que se
hallan en el medio de la distribución y se dice que la mediana se encuentra
entre esos dos valores, (en el caso de variables numéricas se suman esos
valores y se divide entre dos)
Media
Si los datos son numéricos (en escala intervalar o de razón), entonces
es posible calcular una tercera medida de tendencia central: la media
aritmética, la cual consiste en la suma de todos los valores dividida por
el número de
ellos.
La media aritmética es lo que usualmente
conocemos como “promedio”, y se interpreta como tal.
Ejemplos
En el conjunto de
datos: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5,
5, 8, 8, 12, 13,
la moda es 4, la mediana es 4.5 y la media es 6.45.
Para el conjunto de
datos 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5,
5, 8, 8, 12, 93,
la moda es 4, la mediana es 4.5 y la media resulta 13.72.
En un grupo de
jovenes, se observó la estatura de 16 alumnos y se obtuvieron
los siguientes datos (ya ordenados):
1.52 1.52
1.53 1.53 1.57 1.58 1.58 1.60 1.64 1.64 1.64 1.66 1.66 1.74 1.76 1.79
Calculemos las Medidas
de Tendencia Central:
moda = 1.64
mediana= (1.60+1.64)/2=1.62
media= ∑xi/n=1.6225
Información proporcionada:
moda: “La estatura más frecuente entre los estudiantes es de 1.64 m”
mediana: “El 50% de los estudiantes miden menos de 1.62 m y el otro 50%
mide
más de 1.62m”
moda: “Los estudiantes tienen una estatura promedio de 1.6225 m ”
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
A las Medidas de
Dispersión también se les llama Medidas de Variación. La variación es la
cantidad de dispersión, o “separación”, que presentan los datos.
Rango
El rango de un
conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos.
Se denota por R y se tiene que R = xn – x1
Varianza
La varianza es la suma
de los cuadrados de las diferencias de los datos con relación a su media
aritmética, dividida entre el tamaño de la muestra menos 1.
Si se dispone de una
tabla de distribución de frecuencias el cálculo varía, utilizando la expresión
:
Desviación Estándar
Un inconveniente de la varianza es que sus unidades de medición se
encuentran al cuadrado, por lo que no se puede comparar con la media
aritmética. Debido a esto, se define la Desviación Estándar como la raíz
cuadrada de la varianza.
Coeficiente de Variación
El coeficiente de variación es una medida relativa de la variación. Mide
la dispersión de los datos con respecto de su media.
Se denota por CV y se expresa en porcentaje: CV=(S/media)*100%
El coeficiente de
variación se utiliza principalmente cuando se desea comparar dos distribuciones
de frecuencia que tienen diferente unidad de medida.
Ejemplo:
En un grupo de de
jovenes, se observó la estatura de 16 alumnos y se obtuvieron los siguientes
datos (ya ordenados):
1.52 1.52
1.53 1.53 1.57 1.58 1.58 1.60 1.64 1.64 1.64 1.66 1.66 1.74 1.76 1.79
Calculemos las Medidas
de Dispersión
Rango R = 1.79 – 1.52 = 0.27
Para realizar los cálculos de la varianza “a mano”,
resulta conveniente construir una tabla como la siguiente: Tabla 1.
Sustituyendo cada una de las formulas anteriormente revisadas.
Démosle sentido a estos números:
R “La máxima diferencia de
estaturas entre los estudiantes es de 27 cm.”
S “Las estaturas de los
estudiantes se desvían en promedio 8.54 cm. de su media.”
(equivalente a 0.08544 m.)
CV “Las estaturas varían 5.266%
con respecto a su media”
Continuando con medidas de tendencia, tenemos las siguientes:
CUARTILES
Son tres valores
numéricos que dividen a la muestra ordenada en cuatro partes iguales.
Se denotan por Q1, Q2, Q3.
Primer cuartil, es un
valor tal que 25% de las observaciones son menores y 75% son mayores.
Segundo cuartil, es un
valor tal que 50% de las observaciones son menores y 50% son mayores. Coincide
con el valor de la mediana.
Ejemplo:
Utilizando los valores de estatura del mismo grupo de jovenes, ya ordenados tenemos:
Calculemos algunas Medidas de Posición
La asimetría es la medida que indica la simetría de la distribución de
una variable respecto a
la media aritmética, sin necesidad de hacer la representación gráfica. Los coeficientes de
asimetría indican si hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de
la media.
§ Simétrica: hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de la media. En este caso,
coinciden la media, la mediana y la moda. La distribución
se adapta a la forma de la campana de Gauss, o distribución normal.
1. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA
DE FISHER
El coeficiente de asimetría de Fisher CAF evalúa
la proximidad de los datos a su media x.
Cuanto mayor sea la suma ∑(xi–x)3, mayor será la
asimetría. Sea el conjunto X=(x1, x2,…, xN),
entonces la fórmula de la asimetría de Fisher es:
§ Si CAF<0: la distribución tiene una asimetría negativa y se alarga a valores menores
que la media.
§ Si CAF=0: la distribución es simétrica.
§ Si CAF>0: la distribución tiene una asimetría positiva y se alarga a valores mayores
que la media.
2. COEFICIENTE DE
ASIMETRÍA DE PEARSON
El coeficiente de asimetría de Pearson CAP mide la diferencia entre la media y la moda respecto a la dispersión del conjunto X=(x1, x2,…,
xN).
Este procedimiento, menos usado, lo
emplearemos solamente en distribuciones unimodales y poco asimétricas:
§ Si CAP=0: la distribución es simétrica
3. COEFICIENTE DE
ASIMETRÍA DE BOWLEY
El coeficiente de asimetría de
Bowley CAB toma
como referencia los cuartiles para determinar si la distribución es
simétrica o no. Para aplicar este coeficiente, se supone que el comportamiento
de la distribución en los extremos es similar. Sea el conjunto X=(x1, x2,…,
xN), la asimetría de Bowley es:
§ Si CAB<0: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la distancia de la mediana al
primer cuartil es menor que
al tercero.
§ Si CAB=0: la distribución es simétrica,
ya que el primer y tercer cuartil están a la
misma distancia de la mediana.
§ Si CAB>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la distancia de la mediana al
tercer cuartil es mayor que
al primero.
CURTOSIS
La curtosis (o apuntamiento) es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una
curva o distribución.
Este coeficiente
indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva.
La curtosis se
mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada elemento del
conjunto y la media, dividido entre la desviación
típica elevado también
a la cuarta potencia. Sea el conjunto X=(x1, x2,…, xN),
entonces el coeficiente de curtosis será:
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