Variable Aleatorias Discretas

VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia a cada resultado del espacio muestral un número real. A su vez puede ser continua o discreta.

Las variables aleatorias se representan con letras Mayúsculas y los valores que pueden tomar las variables aleatorias se representan con la letra minúscula.

 X= variable aleatoria (v.a)

X= valores de la v.a

Ejemplos:

a) Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:

X={ x1 = 1 (águila), x2 = 0 (sol) }

b) Arrojar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen hacia arriba.

X= la suma de los dos dados

X={ x1 = 2, x2 = 3, … xn=12) }

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Toma valores de un conjunto infinito no numerable.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Toma valores de un conjunto numerable y finito.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

P[ X=x_i ]= pi

Se define la función de probabilidad de la variable aleatoria. X, como la Probabilidad de que la variable aleatoria X, sea igual a un determinado valor x_i y eso es igual a una probabilidad

Ejemplo:

Arrojar dos dados y observar la v.a. X como la suma de los puntos de las caras que quedan arriba. Las formas en que pueden ocurrir cada uno de los valores de la v.a. se muestran continuación:

Observemos que hay 1 posibilidad en 36 de que X=2, mientras que hay 2 posibilidades en 36 de que X=3

 Las probabilidades para cada valor de la v.a. X se muestran en la tabla. En este ejemplo la tabla representa la función de probabilidad de la VA X.

En nuestro ejemplo de la suma de dos dados: P( X=3 )= 2/36;  P( X=6 )= 5/36; 

Propiedades

a) P[X=xi] ≥ 0 Para toda x que pertenece a X

b) ΣP[X=xi] =1

Representación gráfica:

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Sea X una v.a. discreta que toma valores de {x1,x2,x3,…xn}

F(x)=P[X≤x]=∑P[X=xi]

Se define la función de Distribución de X como la probabilidad de que nuestra v.a X sea más pequeña o igual que cierto valor x

Con el mismo ejemplo:

F(2)= P[X≤2]=P[X=2]=1/36

F(6) P[X≤6]=P[X=2]+ P[X=3]+ P[X=4]+ P[X=5]+ P[X=6]=1/36+2/36+3/36+4/36+5/36=15/36

Propiedades

a)                   a<F(x) ≤b=P[X≤b]- P[X≤a]

b)                   F(x>a)=1-P[X≤a]

Representación gráfica: